Trong phân tích một dòng chảy, thường mong muốn giảm số lượng các phương trình hoặc số lượng các biến cần xử lý, hoặc cả hai. Các phương trình Navier - Stokes cho chất lưu không nén được và phương trình tính liên tục khối lượng (bốn phương trình với bốn ẩn số) có thể, trên thực tế, được giảm thành một phương trình duy nhất với một biến phụ thuộc duy nhất trong không gian 2 chiều 2D, hoặc một phương trình vector trong không gian 3 chiều 3D. Điều này được thực hiện bởi hai phép tính vector:

∇ × ( ∇ ϕ ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )=0} ∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}

đối với trường vô hướng có thể lấy vi phân bất kỳ ϕ {\displaystyle \phi } and vector A {\displaystyle \mathbf {A} } . Đồng nhất thức đầu tiên ngụ ý rằng bất kỳ số hạng nào trong phương trình Navier – Stokes, mà số hạng đó có thể được biểu diễn như là gradient của một trường vô hướng, sẽ biến mất khi toán tử curl của phương trình được thực hiện. Thông thường, áp suất p và gia tốc bên ngoài g sẽ bị loại bỏ, cho kết quả như sau (điều này đúng trong 2D cũng như 3D):

∇ × ( ∂ u ∂ t + u ⋅ ∇ u ) = ν ∇ × ( ∇ 2 u ) {\displaystyle \nabla \times \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\nu \nabla \times (\nabla ^{2}\mathbf {u} )}

giả định rằng tất cả các lực khối có thể được mô tả như là các gradient của một trường vô hướng nào đó (ví dụ, điều này đúng cho lực hấp dẫn), và đã thực hiện phép chia mật độ để nhớt độ nhớt trở thành độ nhớt động học.

Đồng nhất thức vector tính toán thứ hai ở trên nói rằng toán tử div của toán tử curl của một trường vector là bằng không. Bởi vì phương trình tính liên tục khối lượng (cho chất lưu không nén được) đã chỉ rõ div của vận tốc dòng chảy là bằng không, chúng ta có thể thay thế vận tốc dòng chảy bằng curl của vector ψ → {\displaystyle {\vec {\psi }}} nào đó để phương trình tính liên tục khối lượng luôn được thỏa mãn: 

∇ ⋅ u = 0 ⇒ ∇ ⋅ ( ∇ × ψ → ) = 0 ⇒ 0 = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0\quad \Rightarrow \quad \nabla \cdot (\nabla \times {\vec {\psi }})=0\quad \Rightarrow \quad 0=0}

Vì vậy, miễn là vận tốc dòng chảy được thể hiện thông qua u = ∇ × ψ → {\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \times {\vec {\psi }}} , phương trình tính liên tục khối lượng sẽ được thỏa mãn vô điều kiện. Với biến vector phụ thuộc mới này, phương trình Navier-Stokes (với curl được lấy như trên) sẽ trở thành một phương trình vector bậc bốn duy nhất, không còn chứa biến áp suất chưa biết và không còn phụ thuộc vào một phương trình tính liên tục khối lượng riêng biệt:

∇ × ( ∂ ∂ t ( ∇ × ψ → ) + ( ∇ × ψ → ) ⋅ ∇ ( ∇ × ψ → ) ) = ν ∇ × ( ∇ 2 ( ∇ × ψ → ) ) {\displaystyle \nabla \times \left({\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\vec {\psi }})+(\nabla \times {\vec {\psi }})\cdot \nabla (\nabla \times {\vec {\psi }})\right)=\nu \nabla \times (\nabla ^{2}(\nabla \times {\vec {\psi }}))}

Ngoài việc chứa đạo hàm bậc bốn, phương trình này là khá phức tạp, và do đó không phổ biến. Lưu ý rằng nếu phép lấy vi phân chéo (cross differentiation) bị loại bỏ, kết quả sẽ là một phương trình véc tơ bậc ba có chứa một trường vector chưa biết (gradient của áp suất), trường này có thể được xác định từ cùng các điều kiện biên như các điều kiện biên áp dụng đối với phương trình bậc bốn nói trên.

Dòng chảy hai chiều trong hệ tọa độ trực giao

Tiện ích thực sự của việc xây dựng công thức này được nhìn thấy rõ khi dòng chảy là dòng chảy hai chiều trong tự nhiên và phương trình được viết trong một hệ tọa độ trực giao tổng quát, hay nói cách khác, một hệ tọa độ mà các vectơ cơ sở trực giao với nhau. Lưu ý rằng điều này không có nghĩa là chỉ giới hạn áp dụng trọng hệ tọa độ Descartes, trên thực tế hầu hết các hệ tọa độ phổ biến đều là các hệ tọa độ trực giao, bao gồm cả những hệ tọa độ quen thuộc như hệ tọa độ trụ và các hệ tọa độ ít phổ biến hơn như hệ tọa độ hình xuyến toroidal.

Vận tốc dòng chảy 3D được thể hiện như sau (lưu ý rằng các cuộc thảo luận vẫn còn tiếp tục cho đến tận bây giờ): 

u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 {\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}

Trong đó e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} là các vectơ cơ sở, không nhất thiết phải là hằng số và không nhất thiết phải được chuẩn hóa, và u i {\displaystyle u_{i}} là các thành phần vận tốc dòng chảy; chúng ta hãy cho các tọa độ của không gian là: ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})} .

Bây giờ giả sử rằng dòng chảy là 2D. Điều này không có nghĩa là dòng chảy phải ở trên một mặt phẳng, mà nó có nghĩa là thành phần của vận tốc dòng chảy theo một hướng là bằng không và các thành phần vận tốc còn lại không phụ thuộc vào hướng đó. Trong trường hợp đó (lấy thành phần thứ 3 bằng không): 

u = u 1 e 1 + u 2 e 2 {\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}} ∂ u 1 ∂ x 3 = ∂ u 2 ∂ x 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}=0}

Hàm vector ψ → {\displaystyle {\vec {\psi }}} vẫn được xác định thông qua:

u = ∇ × ψ → {\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \times {\vec {\psi }}}

nhưng điều này phải được đơn giản hóa theo một cách nào đó bởi vì dòng chảy được giả định là 2D. Nếu hệ tọa độ được giả định là hệ tọa độ trực giao, curl có dạng khá đơn giản, và phương trình trên được diễn giải trở thành:

u 1 e 1 + u 2 e 2 = e 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ x 2 ( h 3 ψ 3 ) − ∂ ∂ x 3 ( h 2 ψ 2 ) ] + e 2 h 3 h 1 [ ∂ ∂ x 3 ( h 1 ψ 1 ) − ∂ ∂ x 1 ( h 3 ψ 3 ) ] + e 3 h 1 h 2 [ ∂ ∂ x 1 ( h 2 ψ 2 ) − ∂ ∂ x 2 ( h 1 ψ 1 ) ] {\displaystyle u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(h_{2}\psi _{2}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(h_{1}\psi _{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{2}\psi _{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{1}\psi _{1}\right)\right]}

Kiểm tra phương trình này cho thấy rằng chúng ta có thể coi ψ 1 = ψ 2 = 0 {\displaystyle \psi _{1}=\psi _{2}=0} để duy trì dấu bằng mà không mất tính tổng quát, do đó:

u 1 e 1 + u 2 e 2 = e 1 h 2 h 3 ∂ ∂ x 2 ( h 3 ψ 3 ) − e 2 h 3 h 1 ∂ ∂ x 1 ( h 3 ψ 3 ) {\displaystyle u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)-{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)}

chỗ quan trọng ở đây là việc chỉ còn lại một thành phần của ψ → {\displaystyle {\vec {\psi }}} ,  do đó dòng 2D sẽ trở thành một bài toán chỉ với một biến phụ thuộc. Phương trình Navier-Stokes được lấy vi phân chéo trở thành hai phương trình 0 = 0 và một phương trình có ý nghĩa.

Thành phần còn lại ψ 3 = ψ {\displaystyle \psi _{3}=\psi } được gọi là hàm dòng. Phương trình cho ψ {\displaystyle \psi } bây giờ có thể đơn giản hóa bởi vì một loạt các đại lượng sẽ bằng không, ví dụ: 

∇ ⋅ ψ → = 1 h 1 h 2 h 3 ∂ ∂ x 3 ( ψ h 1 h 2 ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {\psi }}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(\psi h_{1}h_{2}\right)=0}

nếu các hệ số tỉ lệ h 1 {\displaystyle h_{1}} and h 2 {\displaystyle h_{2}} cũng là độc lập với x 3 {\displaystyle x_{3}} . Ngoài ra, từ định nghĩa của vector Laplacian

∇ × ( ∇ × ψ → ) = ∇ ( ∇ ⋅ ψ → ) − ∇ 2 ψ → = − ∇ 2 ψ → {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {\psi }})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {\psi }})-\nabla ^{2}{\vec {\psi }}=-\nabla ^{2}{\vec {\psi }}}

Thay phương trình Navier-Stokes đã được lấy vi phân chéo bằng hai phương trình trên và một loạt các đồng nhất thức[6] cuối cùng sẽ được phương trình vô hướng 1 chiều 1D của hàm dòng:

∂ ∂ t ( ∇ 2 ψ ) + ( ∇ × ψ → ) ⋅ ∇ ( ∇ 2 ψ ) = ν ∇ 4 ψ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla ^{2}\psi )+(\nabla \times {\vec {\psi }})\cdot \nabla (\nabla ^{2}\psi )=\nu \nabla ^{4}\psi }

trong đó ∇ 4 {\displaystyle \nabla ^{4}} là toán tử lưỡng điều hòa (biharmonic operator). Điều này là rất hữu ích vì nó là một phương trình vô hướng tự bao hàm đơn nhất (single self-contained scalar equation) mô tả cả bảo toàn động lượng và bảo toàn khối lượng trong không gian 2 chiều. Sự khác biệt duy nhất mà phương trình vi phân từng phần này cần so với các phương trình khác là các điều kiện ban đầu và các điều kiện biên.

Nguồn gốc của phương trình hàm dòng vô hướng

Khai triển toán tử curl: ∂ ∂ t ( ∇ × ( ∇ × ψ → ) ) + ∇ × ( ( ∇ × ψ → ) ⋅ ∇ ( ∇ × ψ → ) ) = ν ∇ × ( ∇ 2 ( ∇ × ψ → ) ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times (\nabla \times {\vec {\psi }}))+\nabla \times \left((\nabla \times {\vec {\psi }})\cdot \nabla (\nabla \times {\vec {\psi }})\right)=\nu \nabla \times (\nabla ^{2}(\nabla \times {\vec {\psi }}))} Thay thế toán tử curl bằng toán tử Laplacian và diễn giải số hạng đối lưu và số hạng nhớt − ∂ ∂ t ( ∇ 2 ψ → ) + ∇ × ( ∇ ( ( ∇ × ψ → ) ⋅ ( ∇ × ψ → ) 2 ) + ( ∇ × ( ∇ × ψ → ) ) × ( ∇ × ψ → ) ) = ν ( ∇ 2 ( ∇ ( ∇ ⋅ ψ → ) ) − ∇ 4 ψ → ) {\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla ^{2}{\vec {\psi }})+\nabla \times \left(\nabla \left({\frac {(\nabla \times {\vec {\psi }})\cdot (\nabla \times {\vec {\psi }})}{2}}\right)+\left(\nabla \times (\nabla \times {\vec {\psi }})\right)\times (\nabla \times {\vec {\psi }})\right)=\nu (\nabla ^{2}(\nabla (\nabla \cdot {\vec {\psi }}))-\nabla ^{4}{\vec {\psi }})} Ở trên, toán tử curl của một gradient bằng không, và toán tử div của ψ → {\displaystyle {\vec {\psi }}} cũng bằng không. Do đó: ∂ ∂ t ( ∇ 2 ψ → ) + ∇ × ( ∇ 2 ψ → × ( ∇ × ψ → ) ) = ν ∇ 4 ψ → {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla ^{2}{\vec {\psi }})+\nabla \times \left(\nabla ^{2}{\vec {\psi }}\times (\nabla \times {\vec {\psi }})\right)=\nu \nabla ^{4}{\vec {\psi }}} Diễn giải toán tử curl của tích chéo thành 4 số hạng: ∂ ∂ t ( ∇ 2 ψ → ) + ( ∇ × ψ → ) ⋅ ∇ ( ∇ 2 ψ → ) − ( ∇ 2 ψ → ) ⋅ ∇ ( ∇ × ψ → ) + ( ∇ 2 ψ → ) ( ∇ ⋅ ( ∇ × ψ → ) ) − ( ∇ × ψ → ) ( ∇ ⋅ ( ∇ 2 ψ → ) ) = ν ∇ 4 ψ → {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla ^{2}{\vec {\psi }})+(\nabla \times {\vec {\psi }})\cdot \nabla (\nabla ^{2}{\vec {\psi }})-(\nabla ^{2}{\vec {\psi }})\cdot \nabla (\nabla \times {\vec {\psi }})+(\nabla ^{2}{\vec {\psi }})(\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {\psi }}))-(\nabla \times {\vec {\psi }})(\nabla \cdot (\nabla ^{2}{\vec {\psi }}))=\nu \nabla ^{4}{\vec {\psi }}} Chỉ có một trong bốn số hạng trên là khác không. Số hạng thứ hai bằng không bởi vì nó là tích vô hướng của hai vector trực giao, số hạng thứ ba bằng không vì nó có chứa toán tử div của vận tốc dòng chảy, và số hạng thứ tư bằng không do nó là toán tử div của một vector với thành phần thứ ba là bằng không (giả định rằng không có gì (ngoại trừ h 3 {\displaystyle h_{3}} có thể) phụ thuộc vào thành phần thứ ba). ∂ ∂ t ( ∇ 2 ψ → ) + ( ∇ × ψ → ) ⋅ ∇ ( ∇ 2 ψ → ) = ν ∇ 4 ψ → {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla ^{2}{\vec {\psi }})+(\nabla \times {\vec {\psi }})\cdot \nabla (\nabla ^{2}{\vec {\psi }})=\nu \nabla ^{4}{\vec {\psi }}} Phương trình vector này là một phương trình vô hướng có nghĩa và hai phương trình 0 = 0.

Các giả định cho phương trình hàm dòng được liệt kê dưới đây:

• Dòng chảy là không nén được và là dòng chảy chất lưu Newton.
• Các trục tọa độ là trực giao.
• Dòng chảy là 2 chiều: u 3 = ∂ u 1 ∂ x 3 = ∂ u 2 ∂ x 3 = 0 {\displaystyle u_{3}={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}=0}
• Hai hệ số tỉ lệ đầu tiên của hệ trục tọa độ độc lập với trục tọa độ còn lại: ∂ h 1 ∂ x 3 = ∂ h 2 ∂ x 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial h_{2}}{\partial x_{3}}}=0} , nếu không thì sẽ có thêm các số hạng khác xuất hiện.

Hàm dòng có một số đặc tính hữu ích:

• Bởi vì − ∇ 2 ψ → = ∇ × ( ∇ × ψ → ) = ∇ × u {\displaystyle -\nabla ^{2}{\vec {\psi }}=\nabla \times (\nabla \times {\vec {\psi }})=\nabla \times \mathbf {u} } , độ xoáy của dòng chảy ngược dấu với Laplacian của hàm dòng.
• Các đường cong biểu diễn hàm dòng được gọi là các đường dòng